Transcription
BAB 6 Analisa SpektrumBab 6: Analisa Spektrum1 Analisa Spektrum Dengan DFTTujuan Belajar 1Peserta dapat menghubungkan DFT dengan spektrum dari sinyal hasilsampling sinyal waktu kontinue.N-point DFT dari sinyal x(n) adalah X(ω) yang dievaluasi pada frekuensi-frekuensi ωk 2πk/N untuk k 0,1, ,N-1Contoh :Sinyal dengan durasi sepanjang L diberikan sebagai berikut : 1, 0 n L 1x(n ) lainnya 0Transformasi Fourier dari sinyal ini adalahn L 1n L 11 e jωL sin (ωl 2) jω ( L 1) 2X (ω ) x(n )e jωn e jωn e 1 e jωsin (ω 2 )n 0n 010pi98pi/27 X(omega) iGambar 6.1 : Karakteristik magnituda dan fasa hasil transformasi FourierN-point DFT dari sinyal diatas adalahn L 11 e j 2πkL N sin (πkL N ) jπk ( L 1) NeX (k ) e j 2πkL N 1 e j 2πkL Nsin (πk N )n 0N 100N pi3pi/22pi
BAB 6 Analisa SpektrumN 50N 22pi-30pi/2pi3pi/22piGambar 6.2 : Magnituda dan fasa N-point DFT untuk N 50 dan N 100Tujuan Belajar 2Peserta dapat melakukan analisa spektrum dengan DFT, termasukkonsep windowingUntuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal waktu kontinyu maupun sinyal waktudiskrit, maka perlu diketahui besarnya sinyal setiap saat. Namun, secara praktis, kitamengamati sinyal hanya dalam selang waktu tertentu. Akibatnya, spektrum sinyal harusdidekati menggunakan sejumlah data yang ingxa(n)L samplesFs 2B2. Durasi xa(t) To T dimana T 1/Fs kemampuan membedakan frekuensi terbatas ke F 1Fsbila xa(t) lebih panjang dari To, tetapi kita "memaksa" diri menggunakan bloksebesar L samples, maka gunakan window ω(n) berdurasi Lxˆ (n) x(n)ω (n) 1 0 n L 1misal ω (n) lainnya 0maka xˆ (n) berdurasi L, gunakan pada DFTMisalkan x(n) mengandung frekuensi tunggal ω0x(n) cos ω0 nmaka transformasi Fourier x(n) dapat dinyatakanXˆ (ω ) 12 [W (ω ω 0 ) W (ω ω 0 )]VI-2
BAB 6 Analisa Spektrumdimana W(ω) adalah transformasi Fourier dari sekuen window, dimana untukrectangular windowW (ω ) sin(ωL / 2) jω (l 1) / 2esin(ω / 2)Tujuan Belajar 3Peserta mengerti zero padding dan persamaan/perbedaan akibatnyadibanding dengan menaikkan point DFT.X̂ (ω ) dihitung menggunakna DFT. Jika diinginkan menghitung N-points DFT dimanaN L maka dapat dilakukan zero padding, yaitu dengan menyisipkan sejumlah (N–L)buah nol pada sekuen { x̂(n ) }. Gambar dibawah memperlihatkan magnituda spektrumuntuk L 25 dan N 2048. Seperti terlihat pada gambar tersebut, spektrum X̂ (ω ) tidakterlokalisir pada satu frekuensi tetapi menyebar ke seluruh range frekuensi. Jadi, dayadari sinyal x(n) yang sebelumnya terkonsentrasi pada satu frekuensi sekarang tersebarke seluruh range frekuensi, atau disebut leakage.L 32, N 204816141210864200pi/2pi3pi/22piTujuan Belajar 4Peserta dapat mengurangi kebocoran spektrum (spektral leakage)Windowing, selain menyebabkan kesalahan estimasi spektrum sinyal karena leakage,juga mengurangi resolusi spektrum. Misalkan terdapat sinyal terdiri dari dua frekuensi :x(n) cosω1n cosω2ndengan menggunakan windowing, maka xˆ (n) ω n x(n)dimana transformasi Fouriernya adalah :1X (ω ) [W (ω ω1 ) W (ω ω 2 ) W (ω ω1 ) W (ω ω 2 )]2VI-3
BAB 6 Analisa SpektrumZero crossing W(ω) terjadi pada ω 2π/L, bila ω1-ω2 2π/L maka terjadioverlap pada W(ω-ω1) dan W(ω-ω2), jika ω1-ω2 2π/L maka muncul 2 lobe.Jadi kemampuan meresolusi garis spektrum ditentukan oleh lebar main-lobe dariwindow.Contoh :x(n) cos 0.2πn cos 0.22πn cos 0.6πnTerdapat dua frekuensi yang saling berdekatan, yaitu 0.2π dan 0.22π. Keduafrekuensi tidak bisa dipisahkan menggunakan L 25 dan L 50, kedua frekuensi baruterpisah menggunakan L 100.Untuk mengurangi kebocoran dapat digunakan window w(n) dengan side-lobe yangrendah yang berakibat main-lobe melebar (resolusi meningkat). Bila spektrum windowrelatif sempit dibanding X(ω) maka efek smoothing kecil, sebaliknya bila spektrumwindow relatif lebar maka efek W(ω) lebih dominan sehingga harus dihindari.Contoh : 1 2π 1 cosn 0 n L 1Hanning Windowω ( n) 2 L 1 0otherwiseyang digunakan pada sinyal seperti diatas. Perhatikan gambar dibawah, menggunakanHanning window.VI-4
BAB 6 Analisa Spektrum2 Menghitung DFT Dengan bantuan FilterTujuan Belajar 5Peserta dapat menghitung DFT dengan bantuan filter linier danditerapkan dalam kasus Goertzel Algorithm untuk DMTF.Algoritma Goertzel memanfaatkan sifat periodik sudut fasa {WNk } sehingga perhitunganDFT dapat dinyatakan sebagai operasi linear filtering dengan resonator pada ωk 2πk/NKarena WN kN 1 , maka dapat digunakan sebagai faktor pengali, sehinggaN 1X (k ) x(m)Wm 0N 1kmN kNN WN 1 x(m)Wm 0kmN x(m)WN k ( N m ) yk (n) n Nm 0N 1bila yk (n) x(m)hk (n m)m 0 knNhk (n) Wx(m)u ( n)Hk(n)yk(n) tunggu sampai n NVI-5
BAB 6 Analisa Spektrum yk(N) X(k)Ctt.H k ( z) 11 WN k z 1 yk (n) WN k yk (n 1) x(n)y(-1) 0 kUntuk menghindari bilangan kompleks akibat WN , buat komplex conjugate (1 W(1 WkNkN))z 1H k ( z)z 1H (k ) sehingga1 WNk z 1k 1 2 cos 2π z 1 z 2N 2πkvk (n 1) vk (n 2 ) x(n )Nyk (n ) vk (n ) WNk vk (n 1)vk (n ) 2 cosinput real X (k ) N ( N k ) baik untuk M values log 2 Nsehingga cukup menghitungyk (n ) vk ( N ) WNk vk ( N 1)22k vk2 ( N ) vk2 ( N 1) 2 cos 2π vk ( N 1)N VI-6
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 0 2 4 6 8 10 12 14 16 L 32, N 2048 Tujuan Belajar 4 Peserta dapat mengurangi kebocoran spektrum (spektral leakage) Windowing, selain menyebabkan kesalahan estimasi spektrum sinyal karena leakage, juga mengurangi resolusi spektrum. Misalkan terdapat sinyal terdiri dari dua frekuensi : x(n) cosω 1n cosω 2n
