123doku.com

1(3) Menurut definisi invers dari R diperoleh R- dengan mempertukarkan x dany dalam kalimat terbuka yang mendefinisikan R; yaitu:R- 1 {(x,y)I x Eft, y E Ft,9)( 41 36}17. Apakah ada hubungan antara domain-jangkauan dari suatu relasi R , dandomain-jangkauan dari R- 1 ?Jawab:KarenaR- 1 terdiri dari pasangan-pasangan yang sama seperti dalam R kecualidalam urutan terbalik maka tiap-tiap elemen pertama dalam R akan menjadielemen kedua dalam R- ' dan tiap-tiap elemen kedua dalam R akan menjadielemen pertama dalam R- 1 Maka domain R adalah jangkauan R- 1 danjangkauan dari R adalah domain R-1 18. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli Ndidefinisikan oleh kalimat terbuka "2x y {1 10", yaitu R {(x,2x Y 10}; Carilah: (1) domain dari R,y)J2,3, .} yangI XE N,(2) jangkauan dari R,yE N,(3) R- 'Jawab:Pertama perhatikan bahwa himpunan jawaban dari 2x y 10 adalahR {(1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)} meskipun terdapat tak-berhingga elemen elemen dalam N.(1) Domain dari R yang terdiri dari elemen-elemen pertama dari R adalah{I, 2, 3, 4}.(2) Jangkauan dari R yang terdiri dari elemen-elemen kedua dari R adalah{8, 6,4,2).(3)R-1diperoleh dengan mempertukarkan x dan y dalam kalimat terbukayang mendefinisikan R; jadi R-1 {(x, y) Ix EN, YEN, x 2y 10}1Juga karena R- terdiri dari pasangan-pasangan yang sama dalam Rkecuali dalam urutan terbalik, maka f(1 dapat didefinisikan sebagai:R- 1 {(8, I), (6, 2), (4, 3), (2,4)}146MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASI19. Misalkan W {1, 2, 3, 4} dan relasi R ({1, 1), (1,3), (2,2), (3, 1), (4, 4)}.Apakah R refleksif ?Jawab:R tidak refleksif karena 3 E W dan (3,3) f/:.R.20.Misalkan E {1 , 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E.R 1 {(1, 2),(3, 2),(2, 2),(2, 3)}R4 ({I, 2)}R2 {(1, 2),(2, 3),(1, 3)}Rs Ex ER 3 {(I, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}Nyatakan apakah masing-masing relasi berikut adalah refleksif atau tidak.Jawab:Jika suatu relasi dalam E adalah refleksif maka (1, 1), (2, 2) dan (3, 3) harustermasuk relasi R.Dengan demikian R3 dan R s bersifat refleksif.21.Misalkan V {1, 2, 3, 4) dan relasi R pada V yang didefinisikan sebagai R ({1,2), (3, 4), (2, 1), (3, 3)}. Apakah R simetris?Jawab:R tidaklah simetris, karena 3E V, 4E V, (3,4)ER dan (4, 3)f/:.R.22. Misalkan E {1, 2, 3}.Pandang relasi-relasi berikut dalam E: ({I, 1), (2, 1), (2,2), (3,2), (2,3)}R 3 ({I, 2)}R1 ({I, 1)}R4 ({I, 1), (3, 2), (2, 3)}R2Rs Ex ENyatakan apakah relasi-relasi ini simetris atau tidak?Jawab:(1) R1 tidaklah simetris karena (2, 1)E R1 tetapi (1, 2)f/:.R1(2) R 2 simetris.(3) R3 tidaklah simetris karena (1, 2) E R3 tetapi (2, 1) E R3(4) R4 Simetris147MODUL LOGIKA MA-rEMATIKA

(5) Rs Simetris23. Bilamana suatu relasi R dalam himpunan A tidak anti-simetris?Jawab:R tidaklah anti-simetris jika terdapat elemen-elemen a E A, b E A, a . bsehingga (a, b) E R dan (b, a) E R.24. Misalkan W {1, 2, 3, 4} dan R {(1, 2), (3, 4), (2, 2), (3, 3), (2, 1)}. Apakah Ranti-simetris?Jawab:R tidaklah anti-simeteris karena 1E W, 2 E W, 1 . 2, (1, 2) E R dan (2. 1) E R.25. Misalkan E {1, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E :R 1 {(1, 1), (2,1), (2,2), (3,2), (2,3)}R2 {(I,1)}R3 {(I, 2)}R4 {(1, 1), (2,3), (3,2)}Rs ExENyatakan apakah masing-masing relasi ini anti-simetris atau tidak.Jawab:(1) R 1 tidaklah anti-simetris karena (3,2) E R, dan (2,3) E R 1 .(2) R2 anti-simetris(3) R3 anti-simetris.(4) R4 tidaklah anti-simetris karena (2.3) E R4 dan (3, 2) E R4(5) Rs tidak anti-simetris berdasarkan alasan yang sama sebagaimanauntuk R426.Misalkan E {1, 2,3}. Berikan sebuah contoh dar; suatu relasi R dalam E dimana R tidaklah simetris dan anti-simetris.148MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASIJawab:Relasi R {(1 ,2),(2,1 ),(2,3)} tidak simetris karena (2,3) E R tetapi (3,2)Et;R.R juga tidak anti-simetris karena (1, 2) E R dan (2, 1)E R.27. Misalkan himpunan W {1, 2, 3, 4} dan relasi R {(I, 2), (4, 3), (2, 2), (2, 1), (3,1)}. Apakah R transitif ?Jawab:R tidaklah transitif karena (4, 3) E R , (3, 1) E R tetapi (4, 1 )Et;R.28. Misalkan W {1, 2, 3, 4} dan R {(2, 2), (2, 3), (1,4), (3, 2)}.Apakah R transitif?Jawab:R tidaklah transitif karena (3,2)E R, (2,3)E R tetapi. (3,3)Et; R.29.Misalkan E { 1, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E :R 1 {(1, 2), (2, 2)}R2 {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 1)}R3 {(1, 1)}Rs Ex ER4 {(1,2)}Nyatakan apakah relasi-relasi ini transitif atau tidak.Jawab:Masing-masing relasi ini transitif keeuali R 2 , R 2 tidak transitif karena(2,1) E R2 , (1,2) E R2 , tetapi (2,2)Et;R230.Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R databilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masingnya adalah suaturelasi refleksif atau tidak(1) lebih keeil atau sama dengan y(2) "y habis dibagi oleh x(3) "z y 10"(4) "xdan y secara relatif bilangan prima".149MODUL LOGIKA MATEMATIKA

Jawab:(1) Karena a s a untuk setiap a EN maka (a, a) E R. Oleh karena itu R adalahrefieksif.(2) Karena setiap bilangan habis dibagi oleh dirinya sendiri maka relasi inirefJeksif.(3) Karena 3 3 . 10 maka 3 tidaklah bemubungan dengan dirinya sendiri.Oleh karena itu R tidaklah refJeksif.(4) Pembagi terbesar untUk 5 dan 5 adalah 5; jadi (6, 5) E f R. Oleh karena ituR tidaklah retleksif.31.Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalambiJangan-bilangan asli A. Nyatakan apakah masing-masingnya adalah relasisimetris atau tidak.(1) "X lebih keciJ daripada atau sama dengan y"(2) "X habis dibagi oleh y"(3) "X Y 10"(4) "x 2y 10"Jawab:(1) Karena 3 s 5 tetapi 5 s 3, maka (3,5)E R dan (5,3) R.Jadi R tidaklah simetris.(2) Karena 4 habis dibagi oleh 2 tetapi 2 tidak habis dibagi oleh 4, maka(2,4)ER dan (4,2) R. Oleh karena itu R tidaklah simetris.(3) likaa b 10 maka b a 10; atau dengan perkataan lain, jika (a, b)E Rmaka (b, a) E R. Oleh karena itu R adalah simetris.(4) Perhatikan bahwa (2, 4)E R tetapi (4, 2) R , yakni 2 2(4) 10 tetapi 4I 2(2) .10. Jadi R tidaklah simetris.32. Buktikan: Misalkan R dan S adalah relasi-relasi simetris dalam himpunan A;maka Rn S adalahsuatu relasi simetris dalam A.Jawab:150MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASIPertama perhatikan bahwa R dan S adalah subhimpunan dari A x A; olehkarena ituR n S adalah juga subhimpunan dari A x A dan dengan demikianadalah suatu relasi dalam A.lVIisalkan (a, b) termasuk R n S. Maka (a, b)E R. dan (a, b)E S. Karena R danS adalah simetris, maka (b, a) juga termasuk R dan (b, a) juga termasuk S ;oleh karena itu (b, a) ERn S.Dengan memperlihatkan bahwa jika (a, b)E R n S maka (b, a)E R n S. olehkarena itu R n S adalah simetris.33. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalambilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masing relasi ini anti simetris atau tidak.(1) "x lebih keeil daripada atau sama dengan y "(2) "x lebih keeil daripada y"(3) "x 2y 10"(4) "x habis dibagi oleh y"Jawab:(1) Karena a s b dan b s a menyatakan bahwa a b, maka R anti-simetris.(2) Jika a . b, maka a b atau b a; oleh karena itu R anti-simetris.(3) Himpunan jawab adalah R {(2,4), (4,3), (6,2), (8,1)}. Perhatikan bahwaRn R- 1 0, yang mana adalah subhimpunan dari "garis diagonal" N x N.Oleh karena itu R anti-simetris.(4) Karena b habis dibagi oleh a dan a habis dibagi oleh b menyatakan bahwaa b, maka R anti-simetris.34. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalambilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masing relasi ini transitifatau tidak.(1) "x lebih keeil daripada atau sama dengan y"(2) "y habis dibagi olehx'151MODUL LOGIKA MATEMATIKA

(3)"x y 10"(4)"x 2y 5"Jawab:(1) Karena a s b dan b sCmenyatakan bahwa a s c, maka relasi ini transitif.(2) Jika y habis dibagi oleh x dan z habis dibagi oleh y, maka z habis dibagioleh x, yaitu;(x, y) E R (y, z) E R menyatakan bahwa (x, z) E R.IOleh karena itu R transitif(3) Perhatikan bahwa 2 8 10,8 2 10 dan 2 2 . 10; Yaitu,(2,8) E R , (8,2) E R tetapi (2,2)ftROleh karena itu R tidak transitif.(4) R tidak transitif, karena (3, 1)E R , (1, 2)E R tetapi (3,2)ftR; Yaitu,3 2(1) 5, 1 2(2) 5 tetapi 3 2(2) . 535.1Buktikan jika suatu relasi R transitif, maka relasi invers R- juga transitifJawab:Misalkan (a,b) dan (b,c) termasuk R-1;maka (C,b)E R dan (b,a)E R. Karenatransitif maka (c,a) juga termasuk R; oleh karena itu (a,c)E R11.1Kita telah memperlihatkan bahwa jika (a,b)E R- , (b,C)E R- maka (a,c)ER- 1 ; oleh karena itu R- 1transitif.36. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan olehkalimat terbuka "(x - y) dapat dibagi oleh 5"; yaitu misalkanR {(x, y) I x EN, YEN, (x - y) dapat dibagi oleh 5}Buktikan bahwa R suatu relasi ekivalen.Jawab:Misalkan aEN; maka (a - a)a)E R. 0 dapat dibagi oleh 5,dan oleh karena itu (a,Jadi R refleksif.152MODUL LOGIICA MATEMATIICA

RELASIMisalkan (a, b)E R ; maka (a - b) dapat dibagi oleh 5, dan oleh karena itu (b a) -(a - b) juga dapat dibagi oleh 5. Jadi (b, a) termasuk R. Karena jika(a,b)E R maka (b, a)E R . Jadi R simetris,Misalkan (a, b)E R dan (b, e)E R; maka (a - b) dan (b - e) masing-masing dapatdibagi oleh 5. Oleh karena itu (a - e) - (a - b) (b - e) juga dapat dibagi oleh 5,yang berarti (a, e) termasuk R. Karena jika, (a, b) E R dan (b, e) E R maka (a,e) E R . Jadi R adalah transitif.Karena R refleksif, simetris dan transitif maka menurut definisi R suatu relasiekivalen.37. Misalkan R dan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A. Buktikan keduapernyataan berikut:(1) Jika R dan S simetris maka R U S simetris.(2) Jika R refleksif dan S sebarang relasi maka R U S refleksif.Jawab:(1) Jika (a, b) E R US, maka (a, b) termasuk R atau S, yang mana adalahsimetris. Oleh karena itu (b,a) juga termasuk R atau S. Maka (b, a) E R US dan dengan demikian R U S simetris.(2) R refleksif jika dan hanya jika R memuat "garis diagonal" 0 dari A x A.Tetapi 0cR dan RcR U S maka 0 C R U S.Dengan demikian R U Srefleksif.38. Misalkan R dan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A. Perlihatkan erikancontohberlawanannya yaitu suatu contoh di mana pernyataan ini tidak benar.(1) Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R U S anti-simetris,(2) Jika R transitif dan S transitif maka R U S transitif.Jawab:(1) R {(I, 2)} dan S {(2, 1)} masing-masingnya anti-simetris ; tetapi R U S {(1, 2), (2, 1)} tidak anti-simetris.153MODUL LOGIKA MATEMATIKA

(2) R {(1, 2)} dan S {(2, 3)} masing-masingnya transitif; tetapi R U S {(1,2), (2, 3)} tidak transitif.39.Misalkan dua relasi R dan S yang didefinisikan sebagai R {(x, Y)IXE Ft,Eft, Y ), dan S ((x,y) I x Eft, Y EYFt, y:s X 2)Perhatikan bahwa R dan S kedua-duanya adalah relasi dalam bilangan bilangan riil.(1) Buatlah sketsa relasi Rn Spadadiagram koordinatFt x Ftn S.Carilah jangkauan R n S.(2) Carilah domain R(3)Jawab:(1) Buatlah sketsa R pada diagram koordinatFtxFt,berikan R arsirandengan garis-garis miring yang condong ke kanan (1///); dan pada diagramkoordinat yang sama, buatlah sketsa S dengan garis-garis miring yangcondong ke kiri (\\\\), seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.bergaris silang adalah RnS.Jadi RnMaka daerahS adalah yang diperlihatkan dalamGambar 2.R dan S yang disketsaGambar 1(2)Domain dari Rnb 2Gam arS adalah [-1, 2], karena sebuah garis vertikal yang melaluitiap-tiap titik dalam selang ini dan hanyalah titik-titik ini, akan memuat sebuahtitik dari R(3)n S.Jangkauan dari RnS adalah [0, 4], karena sebuah garis horizontal yangmelalui tiap-tiap titik dalam selang ini dan hanyalah titik-titik ini, akan memuatsekurang-kurangnya satu titik dari Rn S.154MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASI40.Buktikan jika 5, T, dan para R j(untuk semua i berjalan pada himpunan index I) adalah relasi reJasi pada A, maka berlaku(a)(STr l T- I S-I(b)(n j Rj)-I n j R j- I(c)(U i Rjr l Uj R j- IJawab:Menggunakan definisi relasi sehingga diperoleh:(a).(a, b)E(ST)-1 jika dan hanya jika (b,a)EST-(3cEA)dengan(b,c)ES" (c,a)ET-(3cEA)dengan(c,b)ES- I " (a,c)ET- I-(3cEA)dengan (a,c)ET- I " (c, b)ES- I-(a, b)ET-IS- IJadi(ST)-I T- I S-I(b).Ambil index set I a, f3, y, .(a, b)E(njRjrl jikadanhanyajika(b,a)E n j R j-(b,a)ER a " (b,a)E R,a ,,(b,a)E Ry" .-(a, b)ER- la ,,(a, b)E R-l,a " (a, b)E R-Iy" .-(a, b)E n j R-IjJadi (njRjrl njR j (c).Ambil index set I1 a, f3, y, .(a,b)E(UjRjrl jika dan hanya jika (b,a)EU j R j-(b,a) ERa v (b,a)ER,a v (b,a)ERyv .-(a,b)ER- la v (a,b)ER-l,a v (a,b)ER-Iy v .155MODUL LOGIKA MATEMATIKA

Jadi(a,b)EU j R-\(U j R j r 1 Uj R j- 1SOAl SOAl lATIHAN1.Misalkan R relasi pada A {2,3, 4, 5} di definisikan oleh "x dany'relatifprima" yaitu pembagi bersama dari x dan y hanyalah bilangan "satu"(a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan terurut.(b) Gambarkan R pada diagram koordinat A x A(c) Tentukan R-1 .2.Misalkan N {1, 2, 3, .} dan R relasi di N yang didefinisikan sebagai x 2yR {(x, y) / x, yEN, x 2y 8} 8, yakni(a) Tulis R sebagai himpunan pasangan terurut.(b)Tentukan R- 1 3.Misalkan W {1, 2, 3, 4}. Perhatikan relasi-relasi dalam W berikut ini :R 1 {(1,1), (1,2)}R2 {(1,1), (2,3), (4,1)}R3 {(1,2), (2,4)}R 4 {(1,1), (2,2), (3,3)}R s Wx WRe 0Selidiki apakah masing-masing relasi diatas bersifat (a) refleksif (b) simetris (c)transitif4.Misalkan R relasi tegak lurus pada himpunan garis pada bidang. Tentukanapakah R : (i) refleksif (ii) Simetris (iii) transitif atau (iv) ekivalensi.5.Misalkan W {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tentukan apakah masing-masing berikut inimerupakan partisi pada W atau bukan:156MODUL LOGIKA MATEMATIKA--------------------------------

RELASI(a) [{1,3,S}, {2,4}, {3,6}](b)(e). [{1.5}, {2}, {4}, {1 ,5}, {3,6}]({1 ,S}, {2}, {3,6}](d). [ {1,2,3,4,5,6}] {1 ,2,3}6.Tentukan semua partisi dari A7.Misalkan R adalah relasi dalam B {2, 3, 4, 5, 6} yang didefinisikan olehkalimat terbuka"I x - y Idapat dibagi oleh 3" Tuliskan R sebagaihimpunan daripasangan-pasangan terurut.8.Misalkan C {1, 2, 3, 4. 5}, dan relasi R dalam C adalah himpunan titik-titikyang diperlihatkan dalam diagram koordinat C x C berikut.C5 4----,---,.-----'l.------,---,4 -----.--- -----4i.- 3 -- -- - -- ----I2-1----. - - '---- 2345c(a) Nyatakan apakah masing-masing pernyataan benar atau salah: (a) 1 R 4,(b) 2 R 5, (e) 3 f( 1, (d) 5f( 3.(b) Tuliskan masing-masing sUbhimpunan C berikut dalam bentukpendaftaran:{x 13 R x}{x I (4, x) E R}{x I (x, 2) R}{x I x R 5)(e) Carilah domain dari R,(d) Tentukan jangkauan R,(e)9.Definisikan R- 1Diketahui R {(x, y) I xE , yE , -?- 41 s 16}.(a) Buatlah sketsa R pada diagram koordinat x .157MO[)UL LOGIICA MATEMATIICA

(b) Carilah ranah dari R,(c) Tentukan jangkauan R.10.Jika R {(x, y) I xE , yE , t - is 4}, maka:(a) Buatlah sketsa R pada diagram koordinat x .(b) Carilah ranah dari R,(c) Tentukan jangkauan dariR.(d) Definisikan R"1.11.Suatu relasi R pada bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh kalimatterbukaR"x 3y 12" dinyatakan sebagai : {(x, y) I x EN, Y EN, x 3y 12}(a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut.(b) Carilah ranah dari R,(c). Tentukan jangkauan dari R,(d) Definisikan R- 112.Misalkan R suatu relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikansebagai"2x 4y 15".(a) Tuliskan R sebagai himpumn pasangan-pasangan terurut.(b) Carilah ranah dari R,(c) Tentukan jangkauan dariR,(d)13.Definisikan relasi invers R- 1Nyatakan masing-msing pernyataan berikut benar atau salah.Anggaplah Rdan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A.1(a) Jika R simetris maka R- simetris.1(b) Jika R anti-simetris, maka R- anti-simetris.(c) Jika R refleksif, maka Rn R- 1 . 0.(d) Jika R simetris, maka Rn R- 1. 0.(e) Jika R transitif dan S transitif, maka R US transitif.(f).Iika R transitif dan S transitif, maka Rn S transitif.158MODUL LOGIKA MATEMATIKA

RELASI(g) Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R U S anti-simetris.(h) Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R14.n S anti-simetris.(i)Jika R refleksif dan S refleksif, maka R U S refleksif.U)Jika R refleksif dan S refleksif, maka Rn S refleksif.Misalkan L adalah himpunan dari garis-garis dalam bidang Euclid dan Radalah relasi dalam L yang didefinisikan oleh "x sejajar y". Nyatakan apakahrelasi R (1) refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak.(Anggap sebuah garis sejajar dirinya sendiri).15.Misalkan L himpunan dari garis-garis dalam bidang Euclid dan R adalah relasidalam L yang didefinisikan oleh "x tegak lurus y".Nyatakan apakah R (1)refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif.16.Misalkan A keluarga himpunan-himpunan dan R adalah relasi dalam A yangdidefinisikan oleh "x terpisah dari y".Nyatakan apakah R (1) refleksif, (2)simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak.17.Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi dalambilangan-bilanganasli N.(a) "x lebih besar daripada y"(b) "x adalah kelipatan y"(c) "x kali yadalah kuadrat dari sebuah bilangan".(d) "x 3y:;; 12"Nyatakan apakah masing-masing relasi tersebut (a) refleksif, (b) simetris, (c)anti-simetris, (d) transitif, ataukah tidak.18.Pandang relasi-relasi dalam bilangan-bilangan riil berikut ini: {(x, y) I xER*, yER*, Jt 'I s 25}S {(x, y) I xER*, yER*, y 4Jt/9}R(a) Buatlah sketsa relasi R(b) Carilah ranah dari Rn R'pada diagram koordinatR* x R'I.nS(c) Tentukan jangkauan dari Rn s.159MODUL LOGIICA MATEMATIICA

RELASIa). Tulis R sebagai pasagan terurutb). Tentukan domain, range dan relasi invers dari R23.Buatlah graf untuk R pada soal no 22161MODUL LOGIKA MATEMATIKA

5. Misalkan M {a, b, c, d} dan suatu relasi R pada M yang memuat titik-titik yang tampak pada diagram koordinat berikut ini.